توضیحات
این کتاب شامل مطالب درسی و 421 مساله حل شده تالیف دکتر خلیل پاریاب است.
این کتاب در دانشگاه علم و صنعت و سایر دانشگاه ها بعنوان کتاب درسی معرفی شده است.
فهرست مطالب
ویژگی های کتاب معادلات دیفرانسیل دکتر پاریاب
در این کتاب علاوه بر عرضه روشهای متعارف حل معادله ، سعی شده است به روشهایی پرداخته شود که در زمان کمتری به نتیجه مطلوب میرسند.
این روشها نتیجه تجربه سالها تدریس در این در این درس می باشد. یکی از مباحثی که بیشتر مورد توجه قرار گرفته است استفاده از عملگرهای مشتق است.
چنانچه خواهید دید به کارگیری عملگرها در تعیین یک جواب خصوصی در معادله خطی روش مناسبی است.
همانطوری که میدانید یادگیری مطالب ریاضی نیاز به تعمق و انجام تمرینهای متنوع و حل مسائل گوناگون دارد. برای ایجاد انگیزه ، در این کتاب مثالهای متنوعی حل شده است تا به طور عملی روشهای ارائه شده با حل این مسائل آموزش داده شود.
فصول این کتاب
فصل اول : حذف ثابت های خاص
فصل دوم: معادله مرتبه اول
معادله های مرتبهٔ اوّل (به انگلیسی: First-Order Differential Equations)
گروهی از معادله ها هستند که تنها شامل مشتق مرتبهٔ اوّل تابع مجهول هستند (و البتّه خود آن تابع). اگر {\displaystyle y(x)} تابعی مجهول از متغیّر {\displaystyle x} باشد،
یک معادله دیفرانسیل مرتبه اوّل معادله‌ای ست که بتوان آن را به صورت زیر نمایش داد (که در آن {\displaystyle f} می‌تواند هر تابع پیوسته‌ای باشد):[۱]
برای حل این معادله ها روش کلی وجود ندارد. روشهای متعدّدی وجود دارد که هر کدام تنها برای دستهٔ خاص کاربردی هستند.
از مهمترین آنها می‌توان به مرتبه اول خطی و مرتبه اول تفکیک‌پذیر اشاره کرد که در ادامه به آنها می‌پردازیم.
فصل سوم: کاربردهای مقدماتی
فصل چهارم: مباحث دیگر ر رابطه با معادله های مرتبه اول
فصل پنجم: معادله های خطی از مرتبه های بالاتر
فصل ششم: عملگر مشتق
فصل هفتم: معادله های غیر همگن – روش ضرایب مجهول
فصل هشتم : تبدیل لاپلاس
تبدیل لاپلاس (به انگلیسی: Laplace transform) در ریاضیات یک تبدیل انتگرالی است که بسیار پرکاربرد است. تبدیل لاپلاس با نماد {\displaystyle \displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}}
در واقع عملگری خطی از تابع (f (t با آرگومان حقیقی (t (t ≥ ۰ به تابع (F (s با آرگومان مختلط s است. در بسیاری از کاربردهای عملی، این تبدیل به صورت دوسویه عمل می‌کند.
ویژگی مهم این تبدیل آن است که بسیاری از رابطه‌ها و تغییراتی که بر روی تابع اصلی (f (t برقرار هستند، در تبدیل یافتهٔ آن (F (s نیز با رابطه‌ای ساده و منطقی برقرار‌اند. [۱]
این تبدیل به افتخار پیر لاپلاس یعنی کسی که آن را در یکی از کارهایش بر روی نظریهٔ احتمالات معرفی کرده بود، تبدیل لاپلاس گذاشته شده است.
تبدیل لاپلاس شبیه به تبدیل یا تبدیل فوریه است با این تفاوت که تبدیل فوریه یک تابع را به حالت‌های ارتعاشی‌اش تجزیه می‌کند ولی تبدیل لاپلاس آن را به momentهایش تجزیه می‌کند.
تبدیل‌های لاپلاس و فوریه هر دو برای حل معادله‌های دیفرانسیلی و انتگرالی کاربرد دارند. در فیزیک و مهندسی از این تبدیل برای تحلیل سامانهٔ نامتغیرهای خطی زمان مانند مدارهای الکتریکی، ابزارهای نوری، و سامانه‌های مکانیکی استفاده می‌شود.
در بیشتر موارد، تبدیل لاپلاس برای تبدیل سامانه‌هایی با ورودی و خروجی وابسته به زمان به سامانه‌ای وابسته به بسامد زاویه‌ای مختلط با یکای رادیان بر واحد زمان است.
به عبارت دیگر، اگر سامانه‌ای را در نظر بگیریم که توصیف ریاضی یا تابع ورودی و خروجی آن را داشته باشیم، تبدیل لاپلاس آن به ما کمک می‌کند تا تابع جایگزینی را پیدا کنیم که تحلیل رفتار این تابع را آسان‌تر می‌کند.
روش تبدیل لاپلاس، روش عملیاتی است که می‌تواند در حل معادله دیفرانسیل خطی سودمند باشد .
به کمک تبدیل‌های لاپلاس می‌توان بسیاری از توابع متداول نظیر توابع سینوسی، توابع سینوسی میرا، و توابع نمایی را به توابع جبری با یک متغیر مختلط تبدیل کرد .
عملیات جبری در صفحات مختلط می‌توانند جای عملیاتی مانند مشتق‌گیری و انتگرال‌گیری را بگیرند .
از این رو یک معادله دیفرانسیل خطی را می‌توان به یک معادله جبری با یک متغیر مختلط تبدیل کرد . آنگاه جواب معادله دیفرانسیل را می‌توان به کمک جدول تبدیل لاپلاس یا روش تجزیه به کسرهای ساده بدست آورد .
یکی از مزایای روش تبدیل لاپلاس در این است که استفاده از روشهای ترسیمی برای پیش‌بینی عملکرد سیستم را بدون حل واقعی سیستم میسر می‌سازد .
مزیت دیگر آن در این است که با حل معادله دیفرانسیل، می‌توان هر دو مؤلفه گذرا و حالت ماندگار جواب را یکجا بدست آورد .
فصل نهم: کاربردها ( شامل ارتعاشات فنر ، نامیرا ، تشدید ، میرا ، آونگ ساده و انحراف تیر به همراه تمرین و پاسخ است)
فصل دهم: دستگاه معادله های خطی
فصل یازدهم: معادله های غیر خطی
فصل دوازدهم: حل به کمک سریهای توانی
فصل سیزدهم: چند معادله خاص
